Problema 1
Un disco de 0.6 m de radio y 100 kg de masa, gira inicialmente con una
velocidad de 175 rad/s. Se aplican los frenos que ejercen un momento de M=
-2·t Nm. Determinar
·
la aceleración angular en función del tiempo
·
la velocidad angular en función del tiempo
·
el ángulo girado en función del tiempo.
·
El momento angular inicial y en el instante t=18 s.
Representar el momento M en función del tiempo.
Comprobar que el impulso angular∫0tM⋅dt (área) es igual a la
variación de momento angular.
·
La velocidad, aceleración tangencial y normal de un punto de la
periferia del disco en dicho instante. Representar estas magnitudes.
Solución
Momento de inercia
I=12100⋅0.62=18 kgm2
Ecuación de la dinámica de rotación
I·α=M, α=-t/9 rad/s2 la
aceleración angular no es constante
Calculamos la velocidad angular ω y
el desplazamiento angular θ.
ω−ω0=∫t0tα⋅dt ω−175=∫0t(−t9)⋅dt ω=175−t218 rad/sθ−θ0=∫t0tω⋅dt θ=∫0t(175−t218)⋅dt θ=175t−t354 rad
Momento angular, L=Iω
t=0, ω=175, L=3150 kgm2/s
t=18, ω=157, L=2826 kgm2/s
Impulso angular
L−L0=∫t0tM⋅dt L−3150=∫0t(−2t)⋅dt L=3150−t2 kg⋅m2/s
En el instante t=18
s, L=2826 kgm2/s
La representación del momento M en
función del tiempo t es una recta. El ´rea del triángulo de la
figura es
−18⋅362=−324
que es el impulso angular, igual a la
diferencia entre el momento angular final e inicial
Para t=18 s
Aceleración tangencial, at=α·R=(-18/9)·0.6=-1.2
m/s2
Aceleración normal, an=ω2·R=1572·0.6=14789.6
m/s2
En la figura, se representa la
velocidad, tangente a la trayectoria circular, la aceleración tangencial de
signo contrario a la velocidad, y la aceleración normal dirigida hacia el
centro. Estas dos componentes de la aceleración no están dibujadas a escala.
Problema 2
Un bloque de 2000 kg está suspendido en el aire por un cable de acero
que pasa por una polea y acaba en un torno motorizado. El bloque asciende con
velocidad constante de 8 cm/s. El radio del tambor del torno es de 30 cm y la
masa de la polea es despreciable.
·
¿Cuánto vale el momento que ejerce el cable sobre el tambor del torno?
·
¿Cuánto vale la velocidad angular del tambor del torno?
·
¿Qué potencia tiene que desarrollar el motor?.Calcular el trabajo
realizado durante 10 s
Solución
Problema 3
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El sistema de la figura está
inicialmente en reposo. El bloque de 30 kg está a 2 m del suelo. La polea es
un disco uniforme de 20 cm de diámetro y 5 kg de masa. Se supone que la
cuerda no resbala sobre la polea. Encontrar:
·
La velocidad del bloque de 30 kg justo antes de tocar el suelo.
·
La velocidad angular de la polea en ese instante.
·
Las tensiones de la cuerda.
·
El tiempo que tarda el bloque de 30 kg en tocar el suelo.
(Resolver el problema por dinámica
y aplicando el balance energético)
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Solución
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 Escribimos las ecuaciones del movimiento
·
Del
movimiento cada uno de los bloques
·
Del
movimiento de rotación del disco
30⋅9.8−T1=30⋅aT2−20⋅9.8=20⋅aT1⋅0.1−T2⋅0.1=(125⋅0.12)α
|
La relación entre la aceleración de
los bloques a y la aceleración angular α del
disco es
a=α·0.1
Resolviendo el sistema de
ecuaciones, a=1.87 m/s2
Si el bloque de 30 kg cae 2 m
partiendo del reposo.
2=12at2v=a⋅t⎫⎭⎬v=2.73 m/s
Balance energético
En la figura se compara la situación
inicial y la final y aplicamos el principio de conservación de la energía
30⋅9.8⋅2=20⋅9.8⋅2+1220v2+1230v2+12(125⋅0.12)ω2
Relacionamos la velocidad v de
los bloques y la velocidad angular ω del disco, v=ω·0.1
El resultado es v=2.73
m/s, el mismo que hemos obtenido por dinámica
Problema 4
Sobre un plano horizontal está situado un cuerpo de 50 kg que está unido
mediante una cuerda, que pasa a través de una polea de 15 kg a otro cuerpo de
200 kg. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo de 50 kg y el
plano horizontal vale 0.1, calcular.
·
La aceleración de los cuerpos
·
Las tensiones de la cuerda
·
La velocidad de los cuerpos sabiendo que el de 200 kg ha descendido 2 m
partiendo del reposo. (emplear dos procedimientos de cálculo para este
apartado)
Solución
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Ecuaciones del movimiento de cada uno de los tres
cuerpos
200⋅9.8−T2=200aT2R−T1R=(1215R2)α⎧⎩⎨N=50⋅9.8Fr=0.1⋅NT1−Fr=50a
|
Relación entre la aceleración a de
los bloques y la aceleración angular α del disco
a=α·R
El sistema de ecuaciones se reduce a
1960−T2=200aT2−T1=7.5aT1−49=50a⎫⎭⎬a=7.42 m/s2
Si el cuerpo de 200 kg desciende 2 m
partiendo del reposo
2=12at2v=at⎫⎭⎬v=5.45 m/s
Balance energético
Trabajo de la fuerza de rozamiento
W=-Fr·2=-49·2=-98 J
W=1250v2+12200v2+12(1215R2)ω2−200⋅9.8⋅2
Relación entre la velocidad v de
los bloques y la velocidad angular ω del disco
v=ω·R
El resultado es v=5.45
m/s, el mismo que hemos obtenido por dinámica
Problema 5
Dos cuerpos de 3 y 2 kg están unidos
por una cuerda que pasa por una polea en forma de disco (I=MR2/2)
de 0.5 kg de masa y 20 cm de radio. Ambos deslizan sobre un plano horizontal y
otro inclinado 60º. Los coeficientes de rozamiento entre los cuerpos y los
planos inclinados son 0.1 y 0.3 respectivamente. Calcular:
·
La aceleración del sistema
·
Las tensiones de la cuerda
La velocidad que adquieren los
bloques cuando se desplazan 5 m a lo largo de los planos inclinados
respectivos, partiendo del reposo. Emplear dos procedimientos de cálculo
(cinemática y balance energético) para este apartado, comprobando que se
obtienen los mismos resultados
Solución
·
Movimiento del cuerpo 1
N=2⋅9.8⋅cos60Fr=0.3⋅N2⋅9.8⋅sin60−T1−Fr=2a
·
Movimiento del cuerpo 2
N'=3⋅9.8F'r=0.1⋅N'T2−F'r=3a
·
Movimiento de la polea
T10.2−T20.2=120.5⋅0.22α
Relación entre aceleraciones: la
aceleración a de los bloques es la aceleración tangencial de
un punto del borde del disco que es igual a la aceleración angular por el
radio, a=α·0.2
Las ecuaciones a resolver son las siguientes:
14.034−T1=2aT2−2.94=3aT1−T2=0.25a
La aceleración vale a=2.1132
m/s2
Cuando los bloques se desplazan 5 m
partiendo del reposo, la velocidad que adquieren es
5=12at2v=at⎫⎭⎬v=4.597 m/s
Balance energético
·
Trabajo de las fuerzas de rozamiento
W=Fr·5+F’r·5=14.7+14.7=29.4
J
·
Energía cinética que adquieren los cuerpos: dos bloques y un disco.
122v2+123v2+12(120.5⋅0.22)ω2=122v2+123v2+12(120.5⋅0.22)(v0.2)2=2.625v2
·
Cambio de energía potencial del bloque de 2 kg, el otro bloque no cambia
de altura
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2·9.8·h=2·9.8·5·sin60
Balance energético: 2·9.8·5·sin60-29.4=2.625v2
v=4.597
m/s
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Problema 6
Una esfera hueca de masa M=6 kg y radio R=8 cm
puede rotar alrededor de un eje vertical.
Una cuerda sin masa está enrollada
alrededor del plano ecuatorial de la esfera, pasa por una polea de
momento de inercia I=3·10-3 kg·m2 y
radio r=5 cm y está atada al final a un bloque de masa m=0.6
kg. No hay fricción en el eje de la polea y la cuerda no resbala.
·
¿Cuál es la velocidad del bloque cuando ha descendido 80 cm?
Resolverlo dinámica y por balance
energético. I (esfera hueca)=2/3 MR2
Solución
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Ecuaciones del movimiento de cada uno de los
cuerpos
T1⋅0.08=(236⋅0.082)α2T2⋅0.05−T1⋅0.05=3⋅10−3α10.6⋅9.8−T2=0.6⋅a
Relación entre la aceleración a del
bloque y las aceleraciones angulares de la esfera y de la polea
a=α1·0.05= α2·0.08
Resolviendo el sistema de ecuaciones, a=1.013
m/s2
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Si el cuerpo de 0.6 kg desciende 0.8
m partiendo del reposo
0.8=12at2v=at⎫⎭⎬v=1.273 m/s
Balance energético
Principio de conservación de la
energía
0.6⋅9.8⋅0.8=120.6⋅v2+123⋅10−3ω21+12(126⋅0.082)ω22
Relación entre la velocidad v del
bloque y las velocidades angulares de la esfera y de la polea
v=ω1·0.05= ω2·0.08
El resultado es v=1.273
m/s, el mismo que hemos obtenido por dinámica
Problema 7
Dos cuerpos de 3 y 5 kg están unidos por una cuerda que pasa por una
polea en forma de disco de 2 kg de masa y 20 cm de radio. Ambos deslizan sobre
planos inclinados de 30º y 45º. Los coeficientes de rozamiento entre los
cuerpos y los planos inclinados son 0.3 y 0.1 respectivamente. Calcular:
·
La aceleración del sistema,
·
Las tensiones de la cuerda,
·
La velocidad que adquieren los bloques cuando se desplazan 5 m a lo largo
de los planos inclinados respectivos, partiendo del reposo. (Emplear dos
procedimientos de cálculo para este apartado, comprobando que se obtienen los
mismos resultados).
Solución
Ecuaciones del movimiento de cada uno
de los cuerpos
⎧⎩⎨N2=3⋅9.8⋅cos30F2=μ2N2=0.3⋅3⋅9.8⋅cos30T2−F2−3⋅9.8⋅sin30=3a⎧⎩⎨N1=5⋅9.8⋅cos45F1=μ1N1=0.1⋅5⋅9.8⋅cos455⋅9.8⋅sin45−T1−F1=5aT1r−T2r=(122r2)α
Relación entre la aceleración a de
los bloques y la aceleración angular α de la polea
a=α·r
El sistema de ecuaciones se reduce a
31.8−T1=5aT2−22.34=3aT1−T2=a⎫⎭⎬a=0.983 m/s2
Si el cuerpo de 5 kg desliza 5 m
partiendo del reposo
5=12at2v=at⎫⎭⎬v=3.13 m/s
Balance energético
Trabajo de la fuerzas de rozamiento
W=-F1·5-F2·5=-55.52 J
W=123v2+125v2+12(122r2)ω2+3⋅9.8⋅5⋅sin30−5⋅9.8⋅5⋅sin45
Relación entre la velocidad v de
los bloques y la velocidad angular ω de la polea
v=ω·r
El resultado es v=3.13
m/s, el mismo que hemos obtenido por dinámica
Problema 8
Un disco de 0.2 kg y de 10 cm de radio se hace girar mediante una cuerda
que pasa a través de una polea de 0.5 kg y de 7 cm de radio. De la cuerda
cuelga un bloque de 3 kg, tal como se muestra en la figura. El disco gira
alrededor de un eje vertical en cuyo extremo hay una varilla de 0.75 kg masa y
de 20 cm de longitud perpendicular al eje y en cuyos extremos se han fijado dos
esferas iguales de 2 kg de masa y 5 cm de radio. Se suelta el bloque y el
dispositivo comienza a girar. Calcular:
·
El momento de inercia del dispositivo.
·
La aceleración del bloque.
·
La velocidad del bloque cuando ha descendido 2 m partiendo del reposo
(resolver este apartado por energías).
Problema 9
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El sistema de la figura consta de
una polea formada por dos discos coaxiales soldados de masas 550 y 300 g y
radios 8 y 6 cm, respectivamente.
Dos masas de 600 y 500 g cuelgan
del borde de cada disco. Calcular:
·
¿En qué sentido gira?
·
La tensión de cada cuerda
·
La aceleración de cada masa
·
La velocidad de cada cuerpo cuando uno de ellos (¿cuál?) haya
descendido 3 m partiendo del reposo (emplea dos procedimientos de cálculo).
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Solución
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 Como
0.5·9.8·0.06>0.6·9.8·0.06, gira en el sentido de las agujas del reloj.
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Momento de inercia de los discos soldados
I=120.55⋅0.082+120.3⋅0.062=0.0023 kg⋅m2
Ecuaciones del movimiento de cada uno de los
cuerpos
0.5⋅9.8−T2=0.5⋅a2T2⋅0.08−T1⋅0.06=IαT1−0.6⋅9.8=0.6⋅a1
Relación entre las aceleraciones de los bloques y
la aceleración angular de los discos a1=α·0.06
a2= α·0.08
Resolvemos el sistema de ecuaciones, α=5.12
rad/s2, a1=0.307 m/s2, a2=0.409
m/s2
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Balance energético
Si el cuerpo de 0.5 kg desciende 3 m
partiendo del reposo
3=12a2t2v2=a2t⎫⎭⎬v2=1.567 m/s
Cuando el cuerpo de 0.5 kg
desciende h2=3 m el cuerpo de 0.6 kg asciende h1
θ=h10.06=h20.08 h1=2.25 m
Conservación de la energía
0.5⋅9.8⋅3=120.5⋅v22+12Iω2+120.6⋅v21
Relación entre las velocidades de los
bloques y la velocidad angular de los discos v1=ω·0.06
v2= ω·0.08
El resultado es v2=1.567
m/s, el mismo que hemos obtenido por dinámica
Problema 10
Sobre un plano horizontal y que presenta una resistencia al deslizamiento
de coeficiente μ=0.2, desliza un bloque de 3 kg de masa unido a una
cuerda que se enrolla en la periferia de una polea formada por un disco 5 kg y
0.3 m de radio que tiene una hendidura de 0.1 m tal como se ve en la
figura. De la cuerda enrollada en la hendidura pende un bloque de 10 kg de
peso. Calcular:
·
Las tensiones de las cuerdas
·
La aceleración de cada cuerpo
·
El bloque de 10 kg desciende 2 m partiendo del reposo, calcular la
velocidad de cada uno de los bloques (resolver este apartado relacionado
trabajos y energías).
Solución
Ecuaciones del movimiento de cada uno
de los cuerpos
⎧⎩⎨T1−Fr=3a1N=3⋅9.8Fr=0.2⋅N=5.88T2⋅0.1−T1⋅0.3=(125⋅0.32)α10⋅9.8−T2=10⋅a2
Relación entre las aceleraciones de
los bloques y la aceleración angular de los discos a1=α·0.3
a2= α·0.1
Resolvemos el sistema de
ecuaciones, α=13.51 rad/s2, a1=4.05
m/s2, a2=1.35 m/s2
Si el cuerpo de 10 kg desciende 2 m
partiendo del reposo
2=12a2t2v2=a2t⎫⎭⎬v2=2.32 m/s
Balance energético
Cuando el cuerpo de 10 kg
desciende x2=2 m el cuerpo de 3 kg se desplaza x1
θ=x10.3=x20.1 x1=6 m
Trabajo de la fuerza de rozamiento
W=-Fr·x1=-5.88·6=-35.28 J
Balance energético
W=1210⋅v22+12Iω2+123⋅v21−10⋅9.8⋅2
Relación entre las velocidades de los
bloques y la velocidad angular de los discos v1=ω·0.3
v2= ω·0.1
El resultado es ω=23.24
rad/s, v1=6.97 m/s, v2=2.32 m/s,
el mismo que hemos obtenido por dinámica
Problema 11
Sobre un plano inclinado 30º y que ofrece una resistencia al
deslizamiento de coeficiente μ=0.2, desliza un bloque de 3 kg de masa unido a
una cuerda que se enrolla en la periferia de una polea formada por dos discos
acoplados de 1 kg y 0.5 kg y de radios 0.3 m y 0.1 m respectivamente. De la
cuerda enrollada al disco pequeño pende un bloque de 10 kg de peso. Calcular:
·
Las tensiones de las cuerdas
·
La aceleración de cada cuerpo
·
La velocidad de cada cuerpo si el bloque de 10 kg desciende 2 m
partiendo del reposo (emplear dos procedimientos distintos para este apartado).
Solución
Momento de inercia de los discos
soldados
I=121⋅0.32+120.5⋅0.12=0.0475 kg⋅m2
Ecuaciones del movimiento de cada uno
de los cuerpos
⎧⎩⎨T1−Fr−3⋅9.8⋅sin30=3a1N=3⋅9.8⋅cos30Fr=0.2⋅NT2⋅0.1−T1⋅0.3=Iα10⋅9.8−T2=10⋅a2
Relación entre las aceleraciones de
los bloques y la aceleración angular de los discos a1=α·0.3
a2= α·0.1
Resolvemos el sistema de
ecuaciones: α=9.25 rad/s2, a1=2.77
m/s2, a2=0.92 m/s2
Si el cuerpo de 10 kg desciende 2 m
partiendo del reposo
2=12a2t2v2=a2t⎫⎭⎬v2=1.92 m/s
Balance energético
Cuando el cuerpo de
10 kg desciende x2=2 m el cuerpo de 3 kg se
desplaza x1
θ=x10.3=x20.1 x1=6 m
Trabajo de la
fuerza de rozamiento
W=-Fr·x1=-0.2·3·9.8·cos30·6=-30.55
J
W=1210⋅v22+12Iω2+123⋅v21+3⋅9.8⋅6⋅sin30−10⋅9.8⋅2
Relación entre las
velocidades de los bloques y la velocidad angular de los discos v1=ω·0.3
v2= ω·0.1
El resultado
es ω=19.24 rad/s, v1=5.77 m/s, v2=1.92
m/s, el mismo que hemos obtenido por dinámica
